7  INTEGRAL K: SIGNIFICADO FÍSICO

 

A los parámetros astrofísicos ya descriptos, debemos agregar ahora la denominada Integral K. Para un punto ubicado a una cierta profundidad geométrica x dentro de la atmósfera estelar, dicha integral se define de la siguiente manera :

 

 

                                       ,                                    (6.29)

 

 

en la cual n  es la frecuencia considerada y x la profundidad geométrica.

 

La Integral K es un parámetro físico que está relacionado con la presión de la radiación a la frecuencia correspondiente. En efecto, la Integral K correspondiente a una cierta frecuencia n y profundidad geométrica x en la atmósfera, es proporcional a la presión de la radiación Pr(n,x) que ejercen los fotones de esa frecuencia a esa profundidad.

 

En lo que sigue trataremos de demostrar cuidadosamente lo expresado más arriba. Por definición, presión en un punto es la fuerza por unidad de superficie que actúa en ese punto, según una determinada dirección. Llamaremos Pr(n,x) a la fuerza ejercida por la radiación (fotones) de frecuencia n, normalmente a una superficie unitaria. Para calcular el valor de dicha presión, consideremos la superficie ubicada a una profundidad x dentro de la atmósfera estelar (Figura 6-7). Suponemos además que dicha superficie elemental está ubicada de tal manera que su normal coincide con la dirección del radio estelar. Sobre esta superficie inciden en un tiempo Dt rayos con diferentes direcciones respecto de la normal. Cada uno de estos rayos contribuye a la presión de la radiación en el punto considerado.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


                                 Figura 6-7 : Elemento de área ubicado a la profundidad geométrica

                                        x, atravesado por radiación desde todas las direcciones

 

 

 

 

Dado que la presión en el punto es la componente normal de la fuerza sobre el área correspondiente y, a su vez, la componente normal de la fuerza ejercida por los fotones es igual a la derivada de la componente normal del momento lineal respecto del tiempo, entonces la contribución DPr(n,x) de un rayo incidente con ángulo q  a la presión de la radiación de frecuencia n  en el punto considerado, será :

 

 

                                               ,                                             (6.30)

 

 

en la cual DPn(n) representa la componente normal del momento lineal transferido por la radiación (fotones) de frecuencia n  en el tiempo Dt. Si ahora denotamos con DPn(q) al momento lineal en la dirección q, transferido en Dt por la radiación con frecuencias comprendidas entre n y (n + dn), se tiene :

 

 

                                             DPn(n) = DPn(q) cosq                                           (6.31)

 

De las expresiones (6.30) y (6.31) resulta :

 

 

                                                                           (6.32)

 

 

El rayo luminoso considerado está compuesto de fotones, cada uno de los cuales posee un momento lineal p = mc. Puesto que la energía de un fotón es E = mc2, el momento lineal de un fotón es p = E/c. Si sólo se consideran los fotones con frecuencias en el rango n,n+dn, el momento lineal DPn(q) transferido por un rayo que incide sobre DA en la dirección q  será :

 

                                               ,                                               (6.33)                   

 

 

en la cual DEn(q) representa la cantidad de energía con frecuencias comprendidas entre n y (n+dn), que atraviesa el elemento de área DA según la dirección q, dentro de un cierto ángulo sólido Dw, en el tiempo Dt. Si In(q) es la intensidad específica monocromática en el punto considerado y en la dirección q, se tiene :

 

 

                                             DEn(q) = In (q) cosq DA Dt Dn Dw                        (6.34)

 

 

Luego, de (6.32), (6.33) y (6.34) resulta :

 

 

                                                                             (6.35)

 

 

Integrando esta expresión en todo el espectro resulta :

 

 

 

 

                                                                             (6.36)

 

 

Si ahora se integra sobre todos los ángulos, se tendrá la presión de la radiación integrada en el punto considerado :

 

 

                                                                             (6.37)

 

Para el caso monocromático la expresión anterior se escribe :

 

 

                                                                                   (6.38)

 

 

Comparando esta expresión con la definición de Integral K dada en (6.29), resulta:

 

 

                                                                                   (6.39)

 

 

Vemos pues que el parámetro Kn(x) es simplemente la presión de la radiación en el punto considerado, multiplicada por un factor constante.

 

En particular, si  no depende del ángulo q, de (6.10) y (6.38) se tiene :

 

 

                                                 

 

 

Dado que la primitiva de la integral anterior es  , el valor de dicha integral entre 0 y p es 2/3. Por lo tanto :

 

 

                                                                                                  (6.40)

 

 

Hemos así arribado a la expresión (6.1), cuya demostración estaba pendiente.  Finalmente, puede resultar de interés notar que si el campo radiante es isótropo, vale la igualdad (6.9) y en consecuencia la presión de la radiación resulta :

 

 

                                                                                                  (6.41)

 

Eliminando la presión de la radiación entre las expresiones (6.39) y (6.41) resulta la importante relación :

 

 

                                              Jn = 3 Kn ,                                                            (6.42)

 

válida para un campo isótropo.